$\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{729}}}$ এর মান কত?

প্রদত্ত রাশিটি হলো: \( \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{729}}} \)

প্রথমে, আমরা 729 সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব:

\( 729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6 \)

এখন, আমরা জানি যে, n-তম মূলকে (n-th root) ভগ্নাংশ আকারের ঘাত (fractional exponent) দ্বারা প্রকাশ করা যায়। যেমন, \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটিকে ঘাত আকারে লিখলে পাই:

\( \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{729}}} = (( (729)^{\frac{1}{3}} )^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} \)

এখন, 729 এর পরিবর্তে \( 3^6 \) বসিয়ে পাই:

\( (( (3^6)^{\frac{1}{3}} )^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} \)

ঘাতের উপর ঘাত থাকলে ঘাতগুলো গুণ হয়। অর্থাৎ, \( (a^m)^n = a^{mn} \)

এখানে, ভিতরের ঘাতগুলো হলো \( 6, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \)

সুতরাং, মোট ঘাত হবে \( 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \)

\( = 6 \times \frac{1}{27} \)

\( = \frac{6}{27} \)

ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে পাই:

\( = \frac{6 \div 3}{27 \div 3} = \frac{2}{9} \)

অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান হলো \( 3^{\frac{2}{9}} \)